Cómo se calcula el tablero de un altillo con el DB SE-M

Flexión. La tensión de cálculo, con el momento del apoyo central y el módulo resistente de la franja, no puede pasar de la resistencia de cálculo (DB SE-M 6.1.6, expresión 6.7, y 2.2.3, expresión 2.6):

${\sigma }_{m,d}=\frac{M_d}{W}\le f_{m,d}=k_{mod}\frac{f_{m,k}}{{\gamma }_M}$

$M_d=\frac{q_d{L}^2}{8}W=\frac{b{t}^2}{6}$

Cortante de rodadura. En un tablero cargado perpendicular a su plano manda el de rodadura, el «cortante en el plano» de las tablas del anejo E (E.3(2)), con el reparto parabólico de la sección rectangular (6.1.8, expresión 6.12):

${\tau }_{r,d}=\frac{\mathrm{1,5}{V}_d}{bt}\le f_{r,d}=k_{mod}\frac{f_{r,k}}{{\gamma }_M}$

$V_d=\frac{5q_{d}L}{8}$

Dos casos de carga. Lo permanente solo, con el $k_{mod}$ de duración permanente, y todo junto, con el de la sobrecarga: con poca sobrecarga puede mandar el primero, porque su $k_{mod}$ es menor, 0,30 frente a 0,65 en el P4.

Flecha. La instantánea de cada carga, sin mayorar, es la de dos vanos con toda la carga, con el módulo de flexión del tablero y la inercia de la franja:

$\delta =\mathrm{0,00542}\frac{q{L}^4}{E_{m}I}I=\frac{b{t}^3}{12}$

No es la mayor posible: en el vano extremo de tres o más vanos iguales, la flecha llega a $\mathrm{0,00688}q{L}^4\mathrm{/}(E_{m}I)$, un 27 % más. Tomamos la de dos vanos, como su fabricante en sus tablas de carga: es criterio nuestro, y en el ejemplo se ve que con la otra cumpliría igual.

La final le suma la diferida, ${\delta }_{dif}={\delta }_{ini}{\psi }_2{k}_{def}$ (DB SE-M 7.1, expresión 7.1), con ${\psi }_2=1$ en lo permanente, y se compara entera con 1/300 de la luz, el límite del DB SE para «el resto de los casos» (4.3.3.1(1) c)), del lado de la seguridad: con toda la carga, también la del propio tablero.

${\delta }_{fin}={\delta }_G(1+k_{def})+{\delta }_Q(1+{\psi }_2{k}_{def})\le \frac{L}{300}$

Carga concentrada. El DB SE-M no tiene un método para ella en un tablero: se compara con la que admite la tabla de cargas puntuales de su fabricante, $Q_{tab}$, reducida a los coeficientes que el DB SE-M le da a ese tablero con el menor de dos cocientes (criterio nuestro, en el apartado siguiente):

$Q_k\le Q_{adm}=Q_{tab}\cdot \min (c_1;c_2)$

El de $k_{mod}$ y el de la fluencia, con los de la tabla del fabricante, «tab», y los del DB SE-M para ese tablero:

$c_1=\frac{k_{mod}}{k_{mod,tab}}{c}_2=\frac{1+{\psi }_2{k}_{def,tab}}{1+{\psi }_2{k}_{def}}$

1. Los datos. Tablero P4 de 30 mm en ambiente seco, clase de servicio 1, sobre correas cada 600 mm: $L=600\text{mm}$. Oficina, categoría B: $q_k=2{\text{kN/m}}^2$ y $Q_k=2\text{kN}$ (DB SE-AE, tabla 3.1), con ${\psi }_2=\mathrm{0,3}$ (DB SE, tabla 4.2). Sin pavimento ni mampara encima, la permanente es el peso del tablero: $g_k=\mathrm{19,2}{\text{kg/m}}^2=\mathrm{0,188}{\text{kN/m}}^2$.

2. Los valores del tablero, los de su declaración: $f_{m,k}=\mathrm{18,66}{\text{N/mm}}^2$, $f_{r,k}=\mathrm{1,52}{\text{N/mm}}^2$ y $E_m=3137{\text{N/mm}}^2$. Del DB SE-M: ${\gamma }_M=\mathrm{1,30}$ (tabla 2.3), $k_{mod}=\mathrm{0,30}$ con lo permanente y $\mathrm{0,65}$ con la sobrecarga (tabla 2.4) y $k_{def}=\mathrm{2,25}$ (tabla 7.1). La franja, de $b=1000\text{mm}$ por $t=30\text{mm}$:

$W=\frac{1000\cdot {30}^2}{6}=150.000{\text{mm}}^3$

$I=\frac{1000\cdot {30}^3}{12}=\mathrm{2.250.000}{\text{mm}}^4$

3. La carga de cálculo, en la franja de un metro, en la que $1{\text{kN/m}}^2$ es $1\text{kN/m}$ (DB SE 4.2.2, expresión 4.3):

$q_d=\mathrm{1,35}\cdot \mathrm{0,188}+\mathrm{1,50}\cdot \mathrm{2,00}=\mathrm{3,25}\text{kN/m}$

Con lo permanente solo, $\mathrm{1,35}\cdot \mathrm{0,188}=\mathrm{0,25}\text{kN/m}$.

4. Flexión. El momento del apoyo central, la tensión que da y la resistencia de cálculo:

$M_d=\frac{\mathrm{3,25}\cdot {\mathrm{0,60}}^2}{8}=\mathrm{0,146}\text{kN}\cdot \text{m/m}$

${\sigma }_{m,d}=\frac{146.442\text{N}\cdot \text{mm}}{150.000{\text{mm}}^3}=\mathrm{0,98}{\text{N/mm}}^2$

$f_{m,d}=\frac{\mathrm{0,65}\cdot \mathrm{18,66}}{\mathrm{1,30}}=\mathrm{9,33}{\text{N/mm}}^2$

Aprovechamiento: $\mathrm{0,98}\mathrm{/}\mathrm{9,33}=10\mathrm{\%}$. Con lo permanente solo, el 2 %.

5. Cortante de rodadura. El cortante a los lados del apoyo central, la tensión de rodadura y su resistencia de cálculo:

$V_d=\frac{5\cdot \mathrm{3,25}\cdot 600}{8}=1220\text{N/m}$

${\tau }_{r,d}=\frac{\mathrm{1,5}\cdot 1220}{1000\cdot 30}=\mathrm{0,061}{\text{N/mm}}^2$

$f_{r,d}=\frac{\mathrm{0,65}\cdot \mathrm{1,52}}{\mathrm{1,30}}=\mathrm{0,76}{\text{N/mm}}^2$

Aprovechamiento: $\mathrm{0,061}\mathrm{/}\mathrm{0,76}=8\mathrm{\%}$.

6. Flecha, con las cargas en N/mm y la luz en mm. La rigidez de la franja y las flechas instantáneas de lo permanente y de la sobrecarga:

$E_{m}I=3137\cdot \mathrm{2.250.000}=\mathrm{7,06}\cdot {10}^9\text{N}\cdot {\text{mm}}^2$

${\delta }_G=\mathrm{0,00542}\cdot \frac{\mathrm{0,188}\cdot {600}^4}{\mathrm{7,06}\cdot {10}^9}=\mathrm{0,0187}\text{mm}$

${\delta }_Q=\mathrm{0,00542}\cdot \frac{\mathrm{2,00}\cdot {600}^4}{\mathrm{7,06}\cdot {10}^9}=\mathrm{0,199}\text{mm}$

La final, con $1+k_{def}=\mathrm{3,25}$ y $1+{\psi }_2{k}_{def}=\mathrm{1,675}$:

${\delta }_{fin}=\mathrm{0,0187}\cdot \mathrm{3,25}+\mathrm{0,199}\cdot \mathrm{1,675}=\mathrm{0,39}\text{mm}$

Frente a $L\mathrm{/}300=600\mathrm{/}300=\mathrm{2,00}\text{mm}$: aprovechamiento del 20 %.

7. Carga concentrada. La tabla de su fabricante da, para oficinas, 30 mm y correas a 600 mm, $Q_{tab}=\mathrm{4,69}\text{kN}$, hecha con $k_{mod}=\mathrm{0,7}$ y $k_{def}=\mathrm{1,5}$. Los dos cocientes, el de $k_{mod}$ y el de la fluencia, con los del P4:

$c_1=\frac{\mathrm{0,65}}{\mathrm{0,70}}=\mathrm{0,929}$

$c_2=\frac{1+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{1,5}}{1+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{2,25}}=\mathrm{0,866}$

$Q_{adm}=\mathrm{4,69}\cdot \min (\mathrm{0,929};\mathrm{0,866})=\mathrm{4,06}\text{kN}$

Aprovechamiento: $2\mathrm{/}\mathrm{4,06}=49\mathrm{\%}$.

8. El resultado. Cumple, y manda la carga concentrada, al 49 %; la flecha va al 20 %, la flexión al 10 % y la rodadura al 8 %. Con los valores de la tabla E.5 en lugar de los de la declaración, la flexión iría al 21 %, la rodadura al 10 % y la flecha al 26 %: en una oficina, el P4 de 30 mm cumple también sin la solución alternativa. Y con la flecha del vano extremo de tres o más vanos, un 27 % mayor, la final sería de 0,50 mm, el 25 % de la admisible.